\documentclass[12pt,a4paper,flqn]{article}
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\begin{document}
\title{Relativit\` a B,
        A.A. 2009-09:\\
 Introduzione alla fisica dei Buchi Neri}
	
\maketitle
	
	
	\begin{enumerate}
	\item 23-11-09:\\ Presentazione del corso. Motiviazioni ed obiettivi.
	Testi e materiale bibliografico on-line. La fisica dei buchi neri
	nel contesto attuale della Fisica Teorica.
	\item 23-11-09 :\\ 
	Introduzione storica. Gli  ``astri occulti'' di Michell e
	Laplace. Il  ``\textbf{ \red raggio gravitazionale critico}''. \\ 
	
	\item 25-11-09 :\\ 
	\textbf{ {Eserc.}} 
	\begin{enumerate}
	\item{1)}
	Calcolare l'area della sezione $r=r_s$ della metrica di Schwarzschild.
	\item{2)}
	Calcolare il "tempo di volo" di un fotone, emesso radialmente in
	$r=r_1>r_s$, al tempo  $t=t_1$, e ricevuto in $r_2>r_1$ al tempo
	$t=t_2$. Cosa succede nel limite $r_1\to r_s$ ?
	\item{3)} Calcolare il red-shift del fotone in $2)$ 
	\item{4)} Determinare l' andamento della luminosit\`a di una stella
	quando il suo raggio si avvicina a $r_s$. 
	\item{5)} Calcolare il ``tempo proprio'' di caduta, radiale, da
	$r=r_s$ a $r=0$.
	\end{enumerate}
	\item 25-11-09 :\\ 
	\textbf{ {Eserc.}} 
	Determinare la forma esplicita di un sistema di coordinate
	localmente inerziali nella metrica di  Schwarzschild.\\
	In questo sistema di riferimento calcolare $R^0_{r0r}$.
	\item 26-11-09 :\\ 
	La curvatura dell' orizzonte: tensore di Riemann e Scalare
	di Kreshmann. \textbf{\red Singolarit\`a di Curvatura} e
	\textbf{\blue Singolarit\`a di Coordinate}.
	\item 26-11-09 :\\ 
	La metrica di \textbf{\blue Rindler}. Curvatura ed orizzonte.\\
	Continuazione analitica a tempo immaginario.\\
	\textbf{\red Temperatura del vuoto di Rindler}.
	\item 30-11-09 :\\ 
	\textbf{Eserc.} 
	Effetto Unruh. Temperatura di Rindler per un elettrone accelerato
	a $10^{26}\, m/s^2$.\\
	Determinare la \textit{Near-horizon geometry} di un buco nero di Schwarzschild.
	\item 30-11-09 :\\
	La \textbf{\red Temperatura} di un buco nero (Hawking, 1974).\\
	La ``Prima Legge della Termodinamica'' per un buco nero.
	L' \textbf{\blue Entropia} termodinamica di un buco nero.
	\item 02-12-09 :\\ 
	Entropia ``statistica'' e numero di microstati di un buco-nero.\\
	``Principio Olografico'' (cenni).
	\item 02-12-09 :\\ 
	Struttura dei coni--luce, nella metrica di Schwartzschild.
	Coordinate di Eddington-Finkelstein e Kruskal-Szekeres.
	Metrica di Schwartzschild in coordinate di Kruskal-Szekeres.
	\item 03-12-09 :\\ 
	Il Diagramma di Kruskal. Buchi Neri e Buchi Bianchi. Orizzonti di
	eventi futuri e passati. Massima estensione analitica della
	metrica di Schwartzschild.
	\item 03-12-09 :\\
	Geometria (qualitativa) delle sezioni $x^0=cost.$ della metrica di
	Schwartzschild in coordinate di Kruskal. \\
	Il ``\textit{Ponte di Einstein-Rosen}'' come esempio di 
	``\textit{wormhole non-attraversabile}''.
	\item 09-12-09 :\\
	\textbf{ {Eserc.}} 
	\begin{itemize}
	\item
	Ricavare il Diagramma di Penrose per la metrica di Minkowski
	\item Costruire la massima estensione analitica della metrica
	di Rindler
	\item
	Ricavare il Diagramma di Penrose per la metrica di Rindler
	\item
	Ricavare il Diagramma di Penrose per la metrica di Schwarzschild
	\end{itemize}
	\item 09-12-09 :\\
	\textbf{ {Eserc.}} 
	\begin{itemize}
	\item
	Ricavare il Diagramma di Penrose per la metrica di Schwarzschild
	all'esterno di una stella stazionaria
	\item
	Ricavare il Diagramma di Penrose per la metrica di Schwarzschild
	all'esterno di una stella che collassa in un buco nero
	\item
	Rappresentare mediante diagrammi di Penrose i possibili stati finali
	dell' evaporazione di un mini-buco nero
	\end{itemize}
	\item 10-12-09 :\\
	\textbf{ {Eserc.}} 
	Verificare che $\partial_{[\mu}\, A_{\nu]}\equiv \nabla_{[\mu}\, A_{\nu]}$.\\
	Calcolare la forma generale del tensore energia-impulso del campo eletromagnetico
	partendo dall' azione di Maxwell covariante.\\
	Determinare le componenti non-nulle del tensore energia-impulso per un campo
	elettrico radiale.
	\item 10-12-09 :\\
	La soluzione di Reissner-Nordstr\"om delle equazioni di Einstein.
	Orizzonti e singolarit\`a di curvatura.
	\item 14-12-09 :\\
	Condizione di esistenza degli orizzonti, $ G_N M^2> Q^2 $:
	significato geometrico; interpretazione classica in termini di energia
	gravitazionale di legame ed energia coulombiana.\\
	Studio dell'equazione degli orizzonti.
	\item 14-12-09 :\\
	\textbf{ {Eserc.}} 
	Costruire il diagramma di Penrose per la metrica di Reissner-Nordstr\"om
	con due orizzonti; adattare il diagramma al caso del collasso di una 
	sfera carica.
	\item 16-12-09 :\\
	\textbf{ {Eserc.}} 
	Studiare, qualitativamente, l'evoluzione della metrica di una sfera di materia
	carica in collasso, disegnando sezioni a tempo costante della geometria.\\
	Ricavare near-horizon geometry per un buco nero di Reissner-Nordstr\"om.
	Determinare la gravit\`a di superficie e la temperatura dell' orizzonte.
	\item 16-12-09 :\\
	\textbf{ {Eserc.}}
	Studiare l'anadamento della temperatura di Hawking in funzione del
	raggio dell' orizzonte.\\
	Ricavare l'entropia del buco nero dalla prima legge della termodinamica
	e verificare che: i) \`e un quarto dell'area; ii) \`e zero nel caso
	estremale.
	\item 17-12-09 :\\
	Introduzione alla metrica di Kerr: evidenze fenomenologiche vs
	 ``patologie''  geometriche.\\
	Risolvere l'equazione di campo debole
	\begin{equation}
	\partial^2\, \phi^{\mu\nu}=\kappa\, T^{\mu\nu}
	\end{equation}
	per una sfera di materia lentamente ruotante.
	\item 17-12-09 :\\
	\textbf{ {Eserc.}} Dimostrare che per una distribuzione di materia , sferica,
	statica, nel limite di campo debole,  la condizione
	
	\begin{equation}
	\partial_\mu T^{\mu\nu}=0
	\end{equation}
	 
	 comporta che
	 
	 \begin{eqnarray}
	 && \int d^3x T^{k\mu}=0\ , \nonumber\\
	 && \int d^3x x^k T^{00}=0\ , \nonumber\\
	 && \int d^3x x^k T^{j0}=\frac{1}{2}\epsilon^{kjm}\, J_m\ , \nonumber\\
	 && \int d^3x x^k T^{jm}=0
	\end{eqnarray}
	
	\item 11-01-10 :\\
	La \textit{metrica di Kerr} in coordinate di Boyer-Lindquist.\\
	Significato geometrico delle coordinate. 
	La \textit{singolarit\`a anulare di curvatura.} La metrica sul disco
	$x^2+y^2=a^2$. Significato fisico di $M$ ed $a$: confronto con la metrica
	della sfera lentamente ruotante.
	\item 11-01-10 :\\
	 \textbf{Orizzonti di eventi} e  \textbf{Superfici di red-shift infinito}.\\
	Estrazione di energia: il ``processo di Penrose''.\\
	Velocit\`a angolare dell'orizzonte di eventi.  
	\end{enumerate}
	\end{document}

	
	
	
